Raíces de la Unidad y Constructibilidad Roots of Unity and Constructibility جذور الوحدة والقابلية للإنشاء

Por qué construir un polígono regular se reduce a resolver una ecuación algebraica Why constructing a regular polygon boils down to solving an algebraic equation لماذا يختصر إنشاء مضلع منتظم في حل معادلة جبرية

Plano complejo — raíces de z ⁿ = 1 Complex plane — roots of z ⁿ = 1 المستوى العقدي — جذور z ⁿ = 1
n =
Constructible exacto Exactly constructible قابل للإنشاء بدقة No constructible Not constructible غير قابل للإنشاء ω = raíz primitiva ω = primitive root ω = جذر أولي
El problema central The Central Problem المشكلة المركزية

Construir ↔ Resolver con radicales cuadrados Construction ↔ Solving with square radicals الإنشاء ↔ الحل بالجذور المربعة

Un polígono regular de n lados inscrito en el círculo unitario tiene sus vértices en las raíces n-ésimas de la unidad: A regular polygon of n sides inscribed in the unit circle has its vertices at the n-th roots of unity: المضلع المنتظم ذو n أضلاع المرسوم في دائرة الوحدة تقع رؤوسه عند جذور الوحدة النونية:

zⁿ = 1 ⟹ zk = e2πik/n = cos(2πk/n) + i·sin(2πk/n)

Construir el polígono ≡ construir el número cos(2π/n) a partir de ℚ usando solo +, −, ×, ÷, √. Constructing the polygon ≡ constructing the number cos(2π/n) from ℚ using only +, −, ×, ÷, √. إنشاء المضلع ≡ إنشاء العدد cos(2π/n) انطلاقاً من ℚ باستخدام +, −, ×, ÷, √ فقط.

Teoría de Galois Galois Theory نظرية غالوا

Torre de extensiones cuadráticas Tower of quadratic extensions برج الامتدادات التربيعية

Un número α es constructible ↔ existe una cadena de cuerpos: A number α is constructible ↔ there exists a chain of fields: يكون العدد α قابلاً للإنشاء ↔ إذا وجد تسلسل من الحقول:

ℚ = K₀ ⊂ K₁ ⊂ K₂ ⊂ … ⊂ Kₘ con [Kᵢ₊₁ : Kᵢ] = 2 para todo i, y α ∈ Kₘ.

Equivalentemente: el polinomio mínimo de α sobre ℚ tiene grado 2k para algún k ≥ 0. Equivalently: the minimal polynomial of α over ℚ has degree 2k for some k ≥ 0. بمعنى آخر: متعدد الحدود الأدنى لـ α على ℚ له درجة 2k لبعض k ≥ 0.

Polinomio ciclotómico Cyclotomic Polynomial متعدد الحدود الدوري

Φₙ(z) y su grado φ(n) Φₙ(z) and its degree φ(n) Φₙ(z) ودرجته φ(n)

Las raíces primitivas n-ésimas son raíces del polinomio ciclotómico: The primitive n-th roots are roots of the cyclotomic polynomial: جذور الوحدة الأولية هي جذور لـ متعدد الحدود الدوري:

Φn(z) = ∏gcd(k,n)=1 (z − e2πik/n) grado = φ(n) (función de Euler)

El grupo de Galois Gal(ℚ(ζₙ)/ℚ) ≅ (ℤ/nℤ)* tiene orden φ(n). Para que cos(2π/n) sea constructible hace falta que φ(n) sea potencia de 2. The Galois group Gal(ℚ(ζₙ)/ℚ) ≅ (ℤ/nℤ)* has order φ(n). For cos(2π/n) to be constructible, φ(n) must be a power of 2. زمرة غالوا Gal(ℚ(ζₙ)/ℚ) ≅ (ℤ/nℤ)* رتبتها φ(n). لكي يكون cos(2π/n) قابلاً للإنشاء يجب أن تكون φ(n) قوة للعدد 2.

Teorema de Gauss–Wantzel (1837) Gauss–Wantzel Theorem (1837) مبرهنة غاوس-وانتزل (1837)

Condición necesaria y suficiente Necessary and Sufficient Condition الشرط اللازم والكافي

n-gono constructible ⟺ n = 2k · p₁ · p₂ · … · pₘ donde los pᵢ son primos de Fermat distintos (primos de la forma 22ʲ+1): 3, 5, 17, 257, 65537

Wantzel demostró en 1837 que la condición también es necesaria. Gauss solo había demostrado suficiencia. Wantzel proved in 1837 that the condition is also necessary. Gauss had only proved sufficiency. أثبت وانتزل في عام 1837 أن الشرط ضروري أيضاً. كان غاوس قد أثبت الكفاية فقط.

Análisis para n = 10 Analysis for n = 10 تحليل لـ n = 10